日記（2/10） - 誠実な生活

はてなブログでtex記法が使えると知ったので, すこし数式を書いてみたいと思います.

汎関数 $I[u]$ ;

$\begin{align} I[u] = \int_{a}^{b} \left[ p(x) \left( \frac{du}{dx} \right)^2 - q(x) u^2 \right]dx \end{align}$

を, 束縛条件

$\begin{align} \int_{a}^{b} u^2 w(x) dx = 1 \end{align}$

および $x=a, b$ における境界条件

$w(x) = 0 \, \, \, \mathrm{or} \, \, \, p(x) u'(x) = 0 \, \, \, \, \, \, \mathrm{at} \, \, \, \, \, \, x = a, b$

の下で停留させる変分問題は, $x=a, b$ における境界条件

$w(x) = 0 \, \, \, \mathrm{or} \, \, \, p(x) u'(x) = 0 \, \, \, \, \, \, \mathrm{at} \, \, \, \, \, \, x = a, b$

の下でのSL型の微分方程式

$\begin{align} \frac{d}{dx}\left( p(x) \frac{du}{dx} \right) + q(x) u + \lambda w(x) u = 0 \end{align}$

の固有値問題と等価である. また, このとき

$I[ u ] = \lambda$

である. 今, 固有関数 $u_{0}(x)$ が解であるときに, 束縛条件, および境界条件を満たす試行関数を

$u = u_{0} + \delta u$

とする. $I[ u]$ を計算すると,

$\begin{align} I[ u] =& \int_{a}^{b} \left[ p(x) \left( \frac{du}{dx} \right)^2 - q(x) u^2 \right]dx \\ =& \int_{a}^{b} \left[ p(x) \left( \frac{du_{0}}{dx} + \frac{d \delta u}{dx} \right)^2 - q(x) (u_{0} + \delta u)^2 \right]dx \\ =& I[ u_{0} ] + 2 \int_{a}^{b} \left[ p(x) \frac{du_{0}}{dx} \frac{d \delta u}{dx} - q(x) u_{0} \delta u \right]dx + O\left( (\delta u)^2 \right) \\ =& I[ u_{0} ] - 2 \int_{a}^{b} \left[ \left\{ \frac{d}{dx}\left( p(x) \frac{du_{0}}{dx} \right) + q(x) u_{0}\right\} \delta u \right]dx + O\left( (\delta u)^2 \right) \\ =& I[ u_{0} ] + 2 \lambda \int_{a}^{b} w(x) u_{0} \delta u \,dx + O\left( (\delta u)^2 \right) \\ \end{align}$

ここで, $u = u_{0} + \delta u$ は束縛条件を満たすので,

$\begin{align} 1 = \int_{a}^{b} u^2 w(x) dx =& \int_{a}^{b} (u_{0} + \delta u)^2 w(x) dx \\ =& \int_{a}^{b} u_{0}^2 w(x) dx + 2\int_{a}^{b} u_{0} \delta u w(x) dx + O\left( (\delta u)^2 \right) \\ =& 1+ 2\int_{a}^{b} u_{0} \delta u w(x) dx + O\left( (\delta u)^2 \right) \end{align}$